1．（天津理科5）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为                                          （  B  ）

A．6                           B．2                            C．                         D．

2．（天津文科7）设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为                                                                      （  B  ）

A．            B．           C．          D．

3．（江西文、理科7）已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点．满足?＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是                                     （  C  ）

A．(0，1)                   B．(0，]                  C．(0，)                     D．[，1)

4．（上海文科12）设是椭圆上的点．若、是椭圆的两个焦点，则等于                                                       (  D  )

A．                          B．                           C．                          D．.

5．（湖北文、理科10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c₁和2c₂分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a₁和2a₂分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①a₁＋c₁＝a₂＋c₂；

②a₁－c₁＝a₂－c₂；

③c₁a₂＞a₁c₁；

④＜．

其中正确式子的序号是                                   （  B  ）

A．①③                      B．②③                       C．①④                      D．②④

6. （全国2文）设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（    ）

A．          B．          C．          D．

7. （全国2理9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A．          B．        C．             D．

8. （福建文12理11）双曲线的两个焦点为F₁，F₂，若P为其上一点，且|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围为（    ）

A．(1，3)            B．               C．(3，+)        D．

9. （辽宁文6）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（    ）

A．             B．            C．                     D．

10. （辽宁文11）已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（    ）

A．1             B．2              C．3             D．4

11. （辽宁理10）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）

A．             B．             C．         D．

12.（浙江理7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为，则双曲线的离心率是（    ）

A．3             B．5              C．         D．

13.（ 陕西理8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（    ）

A．         B．          C．         D．

14. （海南理宁夏11）已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（    ）

A．        B．            C．              D．

15. （海南文宁夏2）双曲线的焦距为（    ）

A．              B．              C．              D．

16. （湖南理8）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )

A.(1,2)             B.(2,+)           C.(1,5)         D. (5,+) 

17. （湖南文10）若双曲线（，）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（    ）

A．          B．             C．            D．

18. （重庆文8）若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为（    ）

A．2             B．3              C．4             D．

19. （重庆理8）已知双曲线的一条渐近线为，离心率，则双曲线方程为（    ）

A．        B．

C．        D．

20.（北京文3）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（   ）

A．充分而不必要条件               B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                      D．既不充分也不必要条件

21. （北京理4）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（    ）

A．圆           B．椭圆         C．双曲线           D．抛物线

22．（湖南理科12）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，右准线为l,离心率e＝过顶点A(0,b)作AMl，垂足为M，则直线FM的斜率等于         ．答案：

23．（浙江理科12文科13）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则           ．答案：8

24．（宁夏海南文科15）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点, 为坐标原点, 则△的面积为             .    答案：

25．（江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=          ．

【解析】如图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以

△OAP是等腰直角三角形，故，解得．

【答案】

26．（全国Ⅰ文科15）在△ABC中，∠A＝90°，tanB＝．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝               ．

答案：．不妨设2c＝AB＝4，AC＝3，则CB＝5，由椭圆定义可得2a＝AC＋CB＝8，于是

27．（全国Ⅰ理科15）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率           ．

答案：.设，则

，．

28．（上海理科10）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h₁、h₂，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ₁、θ₂，那么船只已进入该浅水区的判别条件是                  ．

答案：h₁cotθ₁+ h₂cotθ₂≤2a．

29.（全国2文15）．已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于        ．15．2

30. （全国I文14）已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为            ．14．

31. （全国理II14）已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为            ．14．2

32. （全国2理15）已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于        ．15．

33.（山东文）

34. （安徽文14）已知双曲线=1的离心率为，则n=          ．14．4

35.( 江西文14)已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为            ．14．

36. (江西理15)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴左侧），则           ．15．

37. (海南理宁夏14）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　　　　　．14．

38. (海南文宁夏15）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则的面积为         ．15．

39. (天津理13)已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为          ． 13．

40. (天津文15)．已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为             ．15．

41. （上海文6）若直线经过抛物线的焦点，则实数　　　　　．6．

42.．（湖南文科19）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4).(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为(a＞b＞0)．

由条件知c＝2，且＝λ，所以a²＝λ，b²＝a²－c²＝λ－4．

故椭圆的方程是

(Ⅱ)依题意，直线l的斜率存在且不为0，记为k，则直线l的方程是y＝k(x－1).设点F(2,0)关于

直线l的对称点为F′(x₀,y₀)，则

解得

因为点F′(x₀，y₀)在椭圆上，所以即

λ(λ－4)k⁴＋2λ(λ－6)k²＋(λ－4)²＝0.

设k²＝t,则λ(λ－4)t²＋2λ(λ－6)t－(λ－4)²＝0.

因为λ＞4，所以＞0．

解得．

43.．（广东理科18文科20）设b＞0，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点F（0，b＋2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G．已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F₁．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

【解析】（1）由得，

当得，G点的坐标为，，，

过点G的切线方程为即，

令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，

即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；

（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，

同理 以为直角的只有一个．

若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，

．

关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，

因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形．

44．（北京文科19）已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．

（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；

（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.

设A，B两点坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).

由得

所以

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，

所以

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.

            由得

            因为A，B在椭圆上，

            所以

            设A，B两点坐标分别为（x₁,y₁），（x₂,y₂）.

            则

            所以

            又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即

            所以

            所以当m=-1时，AC边最长.（这时）

            此时AB所在直线方程为.

45．（北京理科19）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；

（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．

解：（Ⅰ）由题意得直线直线的方程为．

因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.

于是可设直线的方程为

由得

因为A，C在椭圆上，

所以△＝-12n²+64＞0，解得

设A，C两点坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂),

则

所以

所以AC的中点坐标为

由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，

所以，解得n=-2．

所以直线AC的方程为，即x+y+2=0．

（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且,

所以

所以菱形ABCD的面积

由（Ⅰ）可得

所以

所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值.

46．（宁夏海南理科20）在直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别

为.也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且

.

(I)求的方程；

(II)平面上的点满足，直线，且与交于两点，若

，求直线的方程．

解：(I)由题意得c＝1，所以a²＝b²＋1．…………①

由抛物线定义知，所以，

代入椭圆方程得．…………②

由①②解得b²＝3（－8／9舍去），a²＝4．

所以椭圆的方程是．

(II)

因为直线，所以．设直线，

代入椭圆方程得．设A，B两点坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂)，

则，故．

因为，

所以．

因为，所以．

故即．

解得，满足．因此直线的方程．

47．（福建理科21）如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.

【解析】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.

解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，所以,

                即1＝

                因此，椭圆方程为

            (Ⅱ)设

             (?)当直线 AB与x轴重合时，

               (?)当直线AB不与x轴重合时，

                    设直线AB的方程为：

                    整理得

                    所以

                    因为恒有，所以AOB恒为钝角.

                    即恒成立.

又a²+b²m²>0,所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²<0对mR恒成立，

即a²b²m²> a² -a²b²+b²对mR恒成立.

当mR时，a²b²m²最小值为0，所以a²- a²b²+b²<0.

a²<a²b²- b^2, a²<( a²-1)b²= b⁴,

因为a>0,b>0,所以a<b²,即a²-a-1>0,

解得a>或a<(舍去)，即a>,

综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，

x=1代入=1.

因为恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,2(1+y_A²)<4 y_A^2, y_A²>1，即>1,

解得a>或a<(舍去)，即a>.

（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x_1,y₁）, B（x_2,y2）.

设直线AB的方程为y=k(x-1)代入

得(b²+a²k²)x²-2a²k²x+ a² k^2- a² b²=0,

故x₁+x₂₌

因为恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,所以x²₁+y²₁+ x²₂+ y²₂<( x₂-x₁)²₊(y₂-y₁)²_,

得x₁x₂+ y₁y₂<0恒成立.

x₁x₂+ y₁y₂= x₁x₂+k²(x₁-1) (x₂-1)=(1+k²) x₁x₂-k²(x₁₊x₂)+ k²

=(1+k²).

由题意得（a²- a² b²+b²）k²- a² b²<0对kR恒成立.

①当a²- a² b²+b²>0时，不合题意；

②当a²- a² b²+b²=0时，a=;

③当a²- a² b²+b²<0时，a²- a²(a²-1)+ (a²-1)<0，a⁴- 3a² +1>0,

解得a²>或a²>（舍去），a>，因此a.

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.

48．（辽宁理科20）在直角坐标系中,点到两点的距离之和为4,设点的轨迹为,直线与交于两点.

（Ⅰ）写出的方程;

（Ⅱ）若,求的值;

（Ⅲ）若点在第一象限,证明:当时,恒有.

（辽宁文科21）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，－）、（0，）的距离之和等于4．设点P的轨迹为C．

(Ⅰ)写出C的方程；

(Ⅱ)设直线y=kx+1与C交于A、B两点，.k为何值时此时||的值是多少？

【解析】本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．

解：（Ⅰ）设P（x，y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦长，长半轴为2的椭圆.它的短半轴

      故曲线C的方程为．                             ……3分

   （Ⅱ）设，其坐标满足

         消去y并整理得  3.0，

         故                          ……5分

         若即

         面

         化简得所以                            ……8分

   （Ⅲ）

                          ＝

                          ＝

                          ＝

        因为A在第一象限，故x₁＞0.由知从而又

        故

        即在题设条件下，恒有                        ……12分

   文（Ⅱ）设，其坐标满足

消去y并整理得，

故．????????????????????????????????????????????????????????? 6分

，即．

而，

于是．

所以时，，故．???????????????????????????????????????????? 8分

当时，，．

，

而

，

所以．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

49．（重庆理科21）如图（21）图，和是平面上的两点，动点满足：

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）若,求点的坐标.

解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.

             因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴

b=，

             所以椭圆的方程为

         (Ⅱ)由得

                      ①

             因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，

                      ②

             将①代入②，得

             故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.

             由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以

             由方程组       解得

             即P点坐标为

50．（全国Ⅱ理科21文科22）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线

与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点.

(Ⅰ)若 ,求k的值；

(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.

（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．?????????????????????????? 2分

如图，设，其中，

且满足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，

化简得，

解得或．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

．??????????????????????????????????????? 9分

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．??????????? 12分

解法二：由题设，，．

设，，由①得，，

故四边形的面积为

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

，

当时，上式取等号．所以的最大值为．????????????????????????? 12分

51．（福建文科22）如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若为垂直于轴的动弦，直线：与轴交

于点，直线与交于点．

（?）求证：点恒在椭圆上；

（?）求面积的最大值．

【解析】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分．

解法一：

（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b²=a²-c²=3,

所以椭圆C前方程为.

(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).

设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1. ……①

AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0.

设M(x₀,y₀),则有

由②，③得x₀=.

所以点M恒在椭圆G上.

(?)设AM的方程为x=xy+1,代入＝1得（3t²+4）y²+6ty-9=0.

设A(x₁,y₁),M（x₂，y₂），则有：y₁+y₂=

|y₁-y₂|=

令3t²+4=λ(λ≥4),则

|y₁-y₂|＝

因为λ≥4，0<

|y₁-y₂|有最大值3，此时AM过点F.

△AMN的面积S_△AMN=

解法二：

（Ⅰ）问解法一：

（Ⅱ）（?）由题意得F(1,0),N(4,0).

设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),              ……①

AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0,                  ……②

n(x-4)-(m-4)y=0,                  ……③

由②，③得：当≠.          ……④

由④代入①，得=1（y≠0）.

当x＝时，由②，③得：

解得与a≠0矛盾.

所以点M的轨迹方程为即点M恒在椭圆C上.

（Ⅱ）同解法一.

52．（山东文科22）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中

心的点．

（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．

解：（Ⅰ）由题意得，椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）（1）设M（x，y），A（x₀，y₀），

则由得．……………………………①

由于⊥线段，∈且异于椭圆中心，得．……②

因为点在椭圆上运动，所以．………………………③

由①②③消去x₀，y₀得，即为所求点的轨迹方程．

（2）因为

，

又点坐标同时满足，所以．

于是，当且仅当即时取“＝”．

所以的面积的最小值为．

53．（四川理科21）设椭圆 的左、右焦点分别为、，离心率，右准

线为，、是上的两个动点，．

（Ⅰ）若，求、的值；

（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线．

解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．

（Ⅰ）由已知，，．由，，

∴．又，∴，．

∴：，，．

延长交于，记右准线交轴于．

∵，∴．

由平几知识易证≌

∴，即，．

∵，

∴，，，．

∴，．

（Ⅰ）另解：∵，∴，．

又

联立，消去、得：，

整理得：，．解得．

但解此方程组要考倒不少人．

（Ⅱ）∵，∴．

．

当且仅当或时，取等号．此时取最小值．

此时．

∴与共线．

（Ⅱ）另解：∵，∴，．

设，的斜率分别为，．

由，由

．

当且仅当即，时取等号．即当最小时，，

此时

∴与共线．

点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．

54．（四川文科22）设椭圆的左、右焦点分别是F₁和F₂ ，离心率，

点F₂到右准线l的距离为.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)设M、N是右准线上两动点，满足

证明：当取最小值时，.

解：（1）因为,F₂到l的距离,所以由题设得

   解得     

由

(Ⅱ)由,a=2得l的方程为.

故可设

由知

得y₁y₂＝－6,所以y₁y₂0,,

当且仅当时，上式取等号，此时y₂＝－y₁,

所以，=（0，y₁+y₂）=0.

55．（安徽理科22）设椭圆过点，且左焦点为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．

解（Ⅰ）由题意：

           ，解得，所求椭圆方程为 ．

（Ⅱ）方法一

 设点Q、A、B的坐标分别为．

由题设知均不为零，记,则且．

又A，P，B，Q四点共线，从而．

于是           ，     

               ，    

从而

       ，（1）   ，（2）

又点A、B在椭圆C上，即

  （1）+（2）×2并结合（3），（4）得，

即点总在定直线上．

方法二

设点，由题设，均不为零，

且 ．

又 四点共线，可设,于是

                             （1）

                             （2）

由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得

      （3）

       (4)

(4)－(3) 　　　得   ，

，

即点总在定直线上．

56．（安徽文科22）已知椭圆，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知过点F₁(－2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.，求证：

（Ⅲ）过点F₁(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求的最小值．

解：（Ⅰ）由已知得，又，所以．

故所求椭圆C的方程为．

（Ⅱ）设直线AB方程为，

代入椭圆C的方程得．

设点A、B的坐标分别为，则．

于是

，得证．

（Ⅲ）由（Ⅱ），因为，所以．

因此

当且仅当即时取“＝”．

所以的最小值是．

57. (全国I文22理21)（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

22．解：（1）设，，

由勾股定理可得：

得：，，

由倍角公式，解得

则离心率．

（2）过直线方程为

与双曲线方程联立

将，代入，化简有

将数值代入，有

解得

最后求得双曲线方程为：．

58. （山东理22）（本小题满分14分）

如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．

（Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（Ⅰ）证明：由题意设．

由得，得，

所以，．

因此直线的方程为，

直线的方程为．

所以，①

．②

由①、②得，

因此，即．

所以三点的横坐标成等差数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，

将其代入①、②并整理得：

，

，

所以是方程的两根，

因此，，

又，

所以．

由弦长公式得．

又，

所以或，

因此所求抛物线方程为或．

（Ⅲ）解：设，由题意得，

则的中点坐标为，

设直线的方程为，

由点在直线上，并注意到点也在直线上，

代入得．

若在抛物线上，则，

因此或．

即或．

（1）当时，则，此时，点适合题意．

（2）当，对于，此时，

，

又，，

所以，

即，矛盾．

对于，因为，此时直线平行于轴，

 又，

所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，

所以时，不存在符合题意的点．

综上所述，仅存在一点适合题意．

59. （湖北文20）(本小题满分13分)

已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为，求直线的方程．

20．本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力．

（满分13分）

（Ⅰ）解法1：依题意，由，得双曲线方程为．

将点代入上式，得．

解得（舍去）或，

故所求双曲线方程为．

解法2：依题意得，双曲线的半焦距．

，

，．

双曲线的方程为．

（Ⅱ）解法1：依题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理，

得．   ①

直线与双曲线相交于不同的两点，

．　　　　②

设，则由①式得，，

于是

．

而原点到直线的距离，

．

若，即，解得．

满足②．故满足条件的直线有两条，其方程分别为和

解法2：依题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理，

得．   ①

直线与双曲线相交于不同的两点，

．②

设，则由①式得

．③

当在同一支上时（如图1所示），

；

当在不同支上时（如图2所示），

．

综上得，于是由及③式，

得．

若，即，

解得，满足②．

故满足条件的直线有两条，其方程分别为和．

60.(湖北理19)（本小题满分13分）

如图，在以点O为圆心，为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，

∠POB=30°，曲线C是满足为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（Ⅱ）设过点D的直线与曲线C相交于不同的两点E、F．

若的面积不小于，求直线斜率的取值范围．

19．本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力．（满分13分）

（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则，，，，依题意得

＜｜AB｜＝4．

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．

设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c＝2，2a＝2，∴a²=2，．

∴曲线C的方程为．

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得

．

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．

设双曲线的方程为＞0，b＞0）．

则由解得a²=b²=2，

∴曲线C的方程为．

（Ⅱ）解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得

．

∵直线与双曲线C相交于不同的两点E、F，

．

设，F(x₂，y₂)，则由①式得x₁+x₂=，，于是

｜EF｜＝

而原点O到直线l的距离，

．

若面积不小于，即，则有

，解得．      ③

综合②，③知，直线l的斜率的取值范围为．

解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得．   ①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴  

∴．②

设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，则由①式得

           ③

当E、F在同一支上时（如图1所示），

；

当E、F在不同支上时（如图2所示）．

．

综上得，于是

由｜OD｜＝2及③式，得．

若面积不小于2，即，则有

，解得．     　④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为．

61.(江西文22)（本小题满分14分）

已知抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于两点，的延长线分别交抛物线于点．

（1）证明三点共线；

（2）如果四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．

22．（1）证明：设，

则直线的方程，

即．

因为在上，

所以         ①

又直线方程：

由得

所以，

同理，，

所以直线的方程：

令得

将①代入上式得，即点在直线上，

所以三点共线．

（2）解：由已知共线，有，

以为直径的圆方程：

由得

所以，．

要使圆与抛物线有异于的交点，则，

所以存在，使以为直径的圆与抛物线有相异于的交点．

则，所以交点到的距离为．

62.(江西理21)（本小题满分12分）

设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点．

（1）      过点作直线的垂线，垂足为，试求的垂心所在的曲线方

程；

（2）      求证：三点共线．

21．解：设．

由已知得到，且，．

（1）垂线的方程为：，

由得垂足，

设重心，

所以，解得

由可得：

即为重心所在曲线方程．

（2）设切线的方程为：

由得

从而．

解得．

因此的方程为：

同理的方程为：

又在上，所以，

即点都在直线上．

又也在直线上，所以三点共线．

63.(浙江理20文22）（本题15分） 已知曲线是到点和到直线距离相等的点的轨迹．

是过点的直线，是上（不在上）的动点；在上，，轴（如图）．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）求出直线的方程，使得为常数．

20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．

（Ⅰ）解：设为上的点，则

，

到直线的距离为．

由题设得．

化简，得曲线的方程为．

（Ⅱ）解法一：

设，直线，则

，从而．

在中，因为

，

．

所以 .

，

．

当时，，

从而所求直线方程为．

解法二：设，直线，则，从而

．

过垂直于的直线．

因为，所以，

．

当时，，

从而所求直线方程为．

64.（陕西理20文21）（本小题满分12分）

已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

20．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，

由韦达定理得，，

，点的坐标为．

设抛物线在点处的切线的方程为，

将代入上式得，

直线与抛物线相切，

，．

即．

（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，

．

由（Ⅰ）知

．

轴，．

又

  ．

，解得．

即存在，使．

解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得

．由韦达定理得．

，点的坐标为．，，

抛物线在点处的切线的斜率为，．

（Ⅱ）假设存在实数，使．

由（Ⅰ）知，则

，

，，解得．

即存在，使．

65.（天津理21文22）（本小题满分14分）

已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．

21.．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．

（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得

   解得

所以双曲线的方程为．

（Ⅱ）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，整理得

．

此方程有两个不等实根，于是，且

．整理得

．        ③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

，．

从而线段的垂直平分线的方程为

．

此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得

．

整理得

，．

将上式代入③式得，

整理得

，．

解得或．

所以的取值范围是．

66.（湖南理20）（本小题满分13分）

若是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则称弦是点的一条“相关弦”．已知当时，点存在无穷多条“相关弦”．给定．

（Ⅰ）证明：点的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

（Ⅱ）试问：点的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示）；若不存在，请说明理由．

20．解：（I）设AB为点的任意一条“相关弦”，且点的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁x₂），则，_，，

两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）．因为x₁x₂，所以y₁+y₂0．

设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x_m， y_m），则

．

从而AB的垂直平分线l的方程为 ．

又点在直线上，所以．

而，于是．

故点的所有“相关弦”的中点的横坐标都是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦所在直线的方程是，代入中，

整理得．     （*）

则是方程（*）的两个实根，且．

设点的“相关弦”AB的弦长为l，则

．

因为，于是设，则．

记．

若，则，所以当，即时，

l有最大值．

若，则，在区间上是减函数，所以

，l不存在最大值．

综上所述，当时，点的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为；当时，点的“相关弦”的弦长中不存在最大值．

67.（上海文20）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．

已知双曲线．

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）已知点的坐标为．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．

记．求的取值范围；

（3）已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点．记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长．试将表示为直线的斜率的函数．

20．解：（1）所求渐近线方程为，．??????????????????????????? 3分

（2）设的坐标为，则的坐标为．????????????????????????????????? 4分

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

，

的取值范围是．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（3）若为双曲线上第一象限内的点，

则直线的斜率．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

由计算可得，当时，；

当时，．????????????????????????????????????????????????? 15分